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INTRODUÇÃO Com este trabalho, concluído no dia 11/05/2011, para a disciplina de matemática a do 11ºano, iremos descrever brevemente a vida e obra de Fibonacci, bem como apresentar a sucessão de Fibonacci e suas propriedades matemáticas, dando a conhecer alguns factos interessantes da natureza relacionados com o tema. Para entrega à professora, optámos por utilizar o programa de computador Microsoft Word, enquanto que para a exposição, optámos por utilizar o programa Power-Point. Biografia de Fibonacci
Por seu pai ter sido um abastado mercador pisano, Leonardo teve a oportunidade de viajar por várias regiões, nomeadamente o Oriente e o Norte de África desde muito pequeno, privilégio que lhe deu a possibilidade de observar os sistemas numéricos utilizados nessas regiões (numeração hindu-árabe) e que posteriormente introduziu na Europa, por ter reconhecido que a aritmética, com algarismos arábicos, era mais simples e eficiente do que com os algarismos romanos. Ao longo das suas viagens, teve contacto com a obra de al-Khwarismi, de onde assimilou numerosas informações aritméticas e algébricas que compilou no seu primeiro livro “Liber Abaci”, cuja obra teve uma enorme influência para a introdução do sistema de numeração hindu-árabe. Foi neste livro que Fibonacci introduziu o conceito dos números de Fibonacci e da sucessão de Fibonacci, tema principal do nosso trabalho. Posteriormente, escreveu “Pratica Geometriae” onde analogamente descreve as suas recolhas sobre Geometria e Trigonometria.
Difundiu nos seus livros
os saberes matemáticos de origem indiana e árabe e estudou as operações
elementares, assim como os números naturais, a decomposição de números
em factores primos, as fracções, as equações, entre outros. No entanto,
a Pensa-se que Fibonacci terá morrido no ano 1250 em Pisa. No século XIX, uma estátua foi erguida em Pisa, em sua homenagem. Hoje, está localizada na galeria ocidental do Camposanto, cemitério histórico da Piazza dei Miracoli. Bibliografia . Liber Abaci, escrito por volta de 1202 e revisto em 1228, é um livro sobre cálculos onde Fibonacci introduz pela primeira vez o problema dos coelhos; . Practica Geometriae, escrito em 1220, é um compêndio com aplicação da álgebra à solução de problemas de geometria e trigonometria; . Flos, escrito em cerca de 1225, é uma obra dedicada ao cardeal Raniero Capacci, que inclui soluções para os problemas postos por João de Parma; . Liber Quadratorum, escrito também em 1225 e dedicado ao imperador Frederico II. Definição de Sucessão Antes de iniciarmos o nosso tema principal, teremos que dar a definição de sucessão para dar a compreender, mais especificamente, a sucessão de Fibonacci. Uma sucessão de números reais é toda a função real de variável real natural, de domínio |N, que se pode definir através de uma expressão designatória ou de uma fórmula de recorrência (matéria de matemática actual). Sucessão de Fibonacci A Sucessão de Fibonacci consiste numa sucessão de números, tais que, definindo os dois primeiros números da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,... Analiticamente, a sequência de Fibonacci é dada pela seguinte fórmula:
Propriedades Matemáticas Embora a sucessão de Fibonacci se represente frequentemente por: F(n)=F(n-1)+F(n-2), n ∈ N, existem diversas fórmulas e propriedades relacionadas com esta sucessão, como as que apresentarei de seguida: . A soma dos números de Fibonacci é igual ao segundo termo seguinte ao último, menos uma unidade → u1+u2+u3+...+un = u2n+1-1 . A soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar é igual ao de ordem par seguinte → u1+u3+u5+...+u2n-1 = u2n . A soma dos números de Fibonacci de ordem par é igual à diferença entre o de ordem ímpar seguinte e a unidade → u2+u4+u6+...+u2n = u2n+1-1 . A soma dos números de Fibonacci tomados alternadamente com os sinais + e – é igual a (-1)n+1 un-1 +1 → u1-u2+u3-u4...+ (-1)n+1un = (-1)n+1un-1 + 1 A soma dos quadrados dos números de Fibonacci é igual a un.un+1 → (u1)2+(u2)2+(u3)2+...+(un-1)2+ (un)2=un.un+1 O triângulo de Pascal também se relaciona com esta sucessão. Para podermos ver como, temos que primeiro explicar como se constrói o triângulo de Pascal: Para se saber um determinado número, basta somar os dois números imediatamente acima deste.
Mas como é que é possível encontrar os números de Fibonacci no triângulo de Pascal? Analiticamente, é através das seguintes fórmulas:
f(n) =
Por observação, podemos concluir empiricamente que a diagonal é realmente a soma dos números de Fibonacci:
Também existem algumas propriedades interessantes relativamente aos múltiplos dos números de Fibonacci: 1. Olhe para a lista dos números de Fibonacci; 2. Começe por encontrar os números pares; 3. Agora encontre os múltiplos de três; 4. Os múltiplos de quatro; 5. ... Se reparar, F(3), F(6), F(9), F(12), ...F(3k), k ∈ N, são múltiplos de dois. F(4), F(8), F(12),..., F(4k), k ∈ N e (F(4k)=3), são múltiplos de três. Isto sugere que F(5k) seja múltiplo de cinco (F(5)=3); F(6k) é múltiplo de oito (F(6)=8) e por aí fora. Assim, podemos afirmar que: O k-ésimo número de Fibonacci é múltiplo de F(k); F(nk) é múltiplo de F(k), k ∈ N. Vamos ver ainda como se pode obter uma espiral de Fibonacci. Se reparar nos desenhos em baixo, as espirais por eles representadas são formada por, neste caso, seis quadrados (poderiam ser mais, infinitos até). O quadrado seguinte é sempre determinado pelo rectângulo anterior. Se reparamos no rectângulo temos que: 12+12+22+32+52+82+132 = 13×21
Pode-se então deduzir: 12+12+22 +...+F(n)2 = F(n)×F(n+1), n ∈ N ∧ n > 1 Podemos também encontrar a sucessão de Fibonacci relacionada com o número de ouro. O número de ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, e cujo valor é j = ( 1 + Ö 5 ) / 2 (= 1,618 033 989...) Se dividirmos cada um dos números de Fibonacci pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para o número de ouro. Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e assim sucessivamente. Analiticamente, temos: Fn+1/Fn → j(Phi) Problema dos Coelhos Nesta parte do nosso trabalho, vamos concentrar-nos no problema dos coelhos, problema inicialmente introduzido por Fibonacci no Liber Abaci. Assim, ele criou um cenário imaginário com as condições ideais (em baixo apresentadas), sob as quais os coelhos se poderiam procriar. O objectivo deste problema era responder à seguinte questão: Ao longo de doze meses, quantos coelhos serão gerados a partir de um único casal? Condições: . No primeiro mês, temos um coelho macho e um coelho fêmea, acabados de nascer; . Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês, ou seja, só consegue ter crias quando alcançar um mês; . O período de gestação de um coelho dura um mês, isto é, se o coelho procriou hoje, só poderá procriar daqui a um mês; . Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses; . A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea; . Os coelhos nunca morrem. Demonstrando, logicamente, temos:
. Mês 1 → um par de coelhos, que já acasalou mas ainda não deu à luz, pelo período de gestação durar um mês; . Mês 2 → dois pares de coelhos, o par de coelhos inicial e suas crias; . Mês 3 → três pares de coelhos, o par de coelhos inicial, suas novas crias e o par de coelhos nascido no mês 2 que acasalaram, mas ainda não deram à luz; . Mês 4 → cinco pares de coelhos, o par de coelhos inicial, suas novas crias, o par de coelhos nascidos no mês 2 e suas respectivas crias e o par de coelhos nascido no mês 3. Como podemos facilmente reparar, a sequência dos números de pares de coelhos corresponde à sucessão de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…). Concluindo, u(12) vai ser igual à soma dos seus dois antecessores. Analiticamente, temos: Fn = Fn-1+Fn-2 , n ∈ N Sucessão e espiral de Fibonacci na Natureza Os números de Fibonacci relacionam-se facilmente à natureza. É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores. Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas. Arranjo das folhas:
Na planta do topo, contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Na planta em baixo, para encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira tem de se fazer cinco rotações no sentido dos ponteiros do relógio. Passamos por oito folhas até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de três rotações Ramificações
Uma planta que cresce de forma semelhante a esta é a espirradeira ou cevadilha. Dedos da mão: Para encontrar a sucessão de Fibonacci, peço-lhe que olhe para a sua mão. Consegue ver: . 2 mãos cada uma com... . 5 dedos, cada um tem... . 3 partes separadas por... . 2 nós. Conclusão Para além dos objectivos posteriormente apresentados na introdução (pág.1), também concluímos com este trabalho que Leonardo Fibonacci não fora um mero compilador, como muitos comentadores mal-informados pensam. Descobrimos também que a sucessão de fibonacci, tema principal do nosso trabalho, tem várias propriedades matemáticas, bem como diversos aspectos da natureza relacionados com a sucessão. Bibliografia Google → www.google.com Sucessão de Fibonacci → http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/ Leonardo Fibonacci → http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
Outros Trabalhos Relacionados
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Leonardo
de Pisa, mais conhecido simplesmente por Fibonacci, foi um matemático
italiano que nasceu por volta de 1180. É considerado por alguns como o
mais talentoso matemático ocidental da Idade Média.
concepção que Fibonacci apresentou no “Liber Abaci”, conhecido agora
como os números de Fibonacci, foi o que mais o popularizou entre os
outros matemáticos da sua época.
OU f(n) =
.
Mês 0 → um par de coelhos, acabados de nascer, como descrito nas
condições criadas por Fibonacci;
Como
podemos observar na figura em baixo, os arranjos das folhas de algumas
plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo,
todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma e
quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil. Também
podemos encontrar a sucessão de Fibonacci nos nossos próprios dedos das
mãos!
Quando
a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as
ramificações fiquem suficientemente fortes. Se a planta ramifica todos
os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura
semelhante à do lado direito.